正規分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) $$

パラメータ

プロット

アーラン分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x; n, \lambda)= {\lambda^{n} x^{n-1} e^{-\lambda x} \over (n-1)!}\quad\mbox{for }x>0 $$

パラメータ

プロット

F分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(d_1/2, d_2/2)} \; \left(\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_1/2} \; \left(1-\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_2/2} \; x^{-1} $$

パラメータ

プロット

非心F分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x) =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^k} { B\left(\frac{\nu_2}{2},\frac{\nu_1}{2}+k\right) k!} \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\frac{\nu_1}{2}+k} \left(\frac{\nu_2}{\nu_2+\nu_1x}\right) ^{\frac{\nu_1+\nu_2}{2}+k}x^{\nu_1/2-1+k} \ \ \ \ \mathrm{for\ } x > 0 $$

パラメータ

プロット

カイ二乗分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x;k)=\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2} \ \ \ \ \mathrm{for\ } x > 0 $$

パラメータ

プロット

非心カイ二乗分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f_X(x; k,\lambda) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\lambda/2} (\lambda/2)^i}{i!} f_{Y_{k+2i}}(x), \ \ \ \ \mathrm{for\ } x > 0,\ \ Y_q \sim\chi^2_q \ $$

パラメータ

プロット

ガンマ分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\,\theta^k} \ \ \ \ \mathrm{for\ } x > 0 $$

パラメータ

プロット

コーシー分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ \begin{align} f(x; x_0,\gamma) &= { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right] \end{align} $$

パラメータ

プロット

指数分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x; \lambda) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{array} \right. $$

パラメータ

プロット

対数正規分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x} e^{-\frac{ (\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} }, \quad 0<x< \infty $$

パラメータ

プロット

t分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\, \Gamma(\nu/2)} (1+x^2/\nu)^{-(\nu+1)/2} $$

パラメータ

プロット

非心t分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x) =\frac{\nu^{\frac{\nu}{2}} \exp\left (-\frac{\nu\mu^2}{2(x^2+\nu)} \right )} {\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})2^{\frac{\nu-1}{2}}(x^2+\nu)^{\frac{\nu+1}{2}}} \int_0^\infty y^\nu\exp\left (-\frac{1}{2}\left(y-\frac{\mu x}{\sqrt{x^2+\nu}} \right)^2\right ) dy $$

パラメータ

プロット

ベータ分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} $$

パラメータ

プロット

非心ベータ分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x) = \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{j!} \left(\frac{\lambda}{2}\right)^je^{-\lambda/2} \frac{x^{\alpha+j-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha+j,\beta)} $$

パラメータ

プロット

連続一様分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b - a} & \mathrm{for}\ a \le x \le b, \\[8pt] 0 & \mathrm{for}\ x<a\ \mathrm{or}\ x>b \end{cases} $$

パラメータ

プロット

ロジスティック分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(x;\mu,s) = \frac{\exp(-\frac{x-\mu}{s})}{s(1+\exp(-\frac{x-\mu}{s}))^2} $$

パラメータ

プロット

ワイブル分布

参考 : Wikipedia

確率密度関数

$$ f(t)=\frac{m}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{m-1} \exp \left\{-\left(\frac{t}{\eta}\right)^m\right\} $$

パラメータ

プロット

幾何分布

参考 : Wikipedia

確率関数

$$ Pr(X = k) = p(1-p)^{k} $$

パラメータ

プロット

超幾何分布

参考 : Wikipedia

確率関数

$$ \operatorname{P}(X=x) = \frac{\binom{m}{x}\binom{n}{k-x}}{\binom{m+n}{k}} $$

パラメータ

プロット

二項分布

参考 : Wikipedia

確率関数

$$ P[X=k]={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\quad\mbox{for}\ k=0,1,2,\dots,n $$

パラメータ

プロット

負の二項分布

参考 : Wikipedia

確率関数

$$ f(x)=P(X=x) = {x-1 \choose r-1} p^r (1-p)^{x-r} $$

パラメータ

プロット

ポアソン分布

参考 : Wikipedia

確率関数

$$ P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $$

パラメータ

プロット

離散一様分布

参考 : Wikipedia

確率関数

$$ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{n} & \mathrm{for}\ a \le x \le b, \\[8pt] 0 & \mathrm{for}\ x<a\ \mathrm{or}\ x>b \end{cases} $$

パラメータ

プロット

いろいろな確率分布のパラメータをいじくるアプリ

いろいろな確率分布のカタチを見ることができるWebアプリです。
パラメータをいじくって、確率分布のカタチがどのように変わるのか観察しましょう。
左メニュー からお好きな確率分布を選んでください。

このアプリはR言語のWebアプリフレームワークであるShiny で、@ksmznが作りました。
ご指摘や、追加すべき確率分布などがありましたらTwitterで教えてくださると助かります。
また、全てのコードはGitHubにもおいてありますので、拙いコードでよろしければ参考にしてください。

【2015年1月14日 追記】
NVD3.jsを使ったグラフに変更しました!
また、分布名の隣に、日本版Wikipediaへのリンクを追加しました。

【2015年1月27日 追記】

なんと、 このアプリを @kaz_yos さんが英語に翻訳して下さいました!!

Shiny web app for live demonstration of probability distributions

@kaz_yos さん、ありがとうございました。

【2015年2月25日 追記】

shinydashboard を使って デザインやUIを一新しました。 shinydashboard は綺麗なデザインが簡単にできて素晴らしいですね。

また、期待値や分散を追加しました。 より便利になったと思います。

参考文献

このアプリを作る際に参考にしたページは以下です。
特に、まだまだShinyの日本語情報が少ないなか、 @hoxo_mさんの記事やコードはとても参考になりました。
@hoxo_mさん、ありがとうございました。

拙ブログ